第23章
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以同样的办法我们可以分析所有其它的用换位法的证明。
由此分析可见：如果我们在第一格的完全的三段论和换位定律之上，加上三条命题逻辑的定律，即假言三段论定律和
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１８。归谬法证明A １８
两个因子定律，我们就得到了除Ｂａｒｏｃｏ与Ｂｏｃａｒｄｏ之外的、所有的不完全三段论的严格地形式化的证明。
这除外的两个式需要命题逻辑的另外的断定命题。
１８。归谬法证明AＢａｒｏｃｏ式与Ｂｏｃａｒｄｏ式用换位法不能化归为第一格。
Ａ前提换位会产生Ⅰ前提，由它与Ｏ前提一起不能得出什么东西，而Ｏ前提又不能换位。
亚里士多德企图用归谬法（ｒｅｄｕｃCｔｉｏａｄｉｍｐｏｓｉｂｉｌｅ，α‘παγωγηV
∈ｓDα‘δDα）
来证明H J F H J F这两个式。
对Ｂａｒｏｃｏ的证明这样说道：“如果Ｍ属于所有Ｎ，但不属于有些Ｘ，则Ｎ应不属于有些Ｘ，就是必然的了；因为如果Ｎ属于所有Ｘ，而Ｍ也表述所有Ｎ，Ｍ必属于所有Ｘ；但已假定Ｍ不属于有些Ｘ”。
①这个证明是太简洁了而且需要解释，通常是用以下方式解释：②
我们要证的三段论：（１）如果Ｍ属于所有Ｎ并且Ｍ不属于有些Ｘ，则Ｎ不属于有些Ｘ。
已经承认前提“Ｍ属于所有Ｎ”以及“Ｍ不属于有些Ｘ”都真；则结论“Ｎ不属于有些Ｘ”必须也是真的。
因为如果它是假的，它的矛盾命题“Ｎ属于所有Ｘ”就会是真的。
这最后一个命题就是我们逆推的起点。
因为已经承认前提“Ｍ属于所有Ｎ”是真的，我们从这个前提与命题“Ｎ属于所有Ｘ”
（用
①《前分析篇》ｉ。
５，２７ａ３７②例如，参见迈尔《亚里士多德的三段论》，卷ｉｉａ，第８４页。
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２８第三章 亚里士多德三段论系统
Ｂａｒｂａｒａ式）得到结论“Ｍ属于所有Ｘ”。
但这个结论是假的，因为已经承认了它的矛盾命题“Ｍ不属于有些Ｘ”
是真的，所以我们逆推的起点“Ｎ属于所有Ｘ”
导致了一个假的结论，从而它必是假的，而它的矛盾命题，“Ｎ不属于有些Ｘ”必是真的。
这个论证只有表面的说服性；事实上它并没有证明上面的三段论。
它仅能应用于传统的Ｂａｒｏｃｏ式（我以这个式通常带有动词“是”的形式来引述它，而不用亚里士多德式的带有“属于”字样的形式）
：（２） 所有Ｎ是Ｍ，有些Ｘ不是Ｍ，所以有些Ｘ不是Ｎ。
这是一条推论规则，假定前提都真的话，那也就允许我们断定这个结论。
它并不说明当前提都假时，会发生什么事情。
这是与一条推论规则无关的，因为，显然，一个基于假前提的推论不能是正确的。
但亚里士多德式三段论都不是推论规则，它们都是命题。
三段论（１）是一个蕴涵式，它对于变项Ｍ，Ｎ和Ｘ的所有的值都是真的，而不仅是对于那些能确证这些前提的值才是真的。
如果我们将此Ｂａｒｏｃｏ式应用于词项Ｍ＝鸟，Ｎ＝动物，与Ｘ＝猫头鹰时，我们得到一个真的三段论（我用带“是”字的形式，如亚里士多德在例子中所作的那样）
：（３） 如果所有动物都是鸟并且有些猫头鹰不是鸟，
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１８。归谬法证明A ３８
那么有些猫头鹰不是动物。
这是一个Ｂａｒｏｃｏ式的例子，因为它用替换而由该式得出。
但上面的论证不能应用于这个三段论。
我们不能承认这些前提都是真的，因为命题“所有动物是鸟”和“有些猫头鹰不是鸟”
确实是假的。
我们不需要假定结论是假的；不论我们假定它的虚假性与否，它总是假的。
但主要之点在于；结论的矛盾命题，亦即命题“所有猫头鹰是动物”与第一个前提“所有动物都是鸟”在一起产生出的结论不是假的，而是真的：“所有猫头鹰都是鸟”。
“归谬”在这个情况下是不可能的。
亚里士多德所提出的证明既不是充分的，也不是一个归谬的证明。
亚里士多德用与直接的或显示的证明相对比的办法，来描述间接的证明或“归谬法”的论证。
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间接证明假定它希望否决的东西，即用还原法去否决被认为假的命题，而显示法证明从承认为真的命题开始。
①因为如果我们要用归谬法证明一个命题，我们必须从它的否定出发并从而导出一个显然虚假的命题。
Ｂａｒｏｃｏ式的间接证明应从该式的否定出发，而不是由它的结论的否定出发，并且这个否定应导致一个无条件的虚假的命题，而不是一个仅在某些条件下才是假的命题。
我将在此处提出一个这样的证明的简述。
令α指示命题“Ｍ属于所有的Ｎ”
，β指示“Ｎ属于所有Ｘ”
，以及γ指示“Ｍ属于所有Ｘ”。
因为一个Ａ前提的否定是一个Ｏ前提，“非
①《前分析篇》ｉ。
１４，６２ｂ２９，“归谬法的论证，不同于显示法的证明在于它设置它希望反驳的命题，即用还原为公认为虚假的命题的办法来反驳设置的命题；而显示法证明则从它所承认（为真）的论点出发。”
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４８第三章 亚里士多德三段论系统
β“
①是“Ｎ不属于有些Ｘ”的意思，而“非γ”是“Ｍ不属于有些Ｘ”的意思。
根据Ｂａｒｏｃｏ式，蕴涵式“如果α并且非γ，则非β”
是真的，或者，换言之，α并且非γ与β不同真。
因此，这个命题的否定意味着“α并且β并且非γ”同真。
但从“α并且β”用Ｂａｒｂａｒａ式得出“γ”
；因此，我们得到了“γ并且非γ”
，亦即一个由于有着形式的矛盾而显然虚假的命题。
这个用归谬法对Ｂａｒｏｃｏ式的真正的证明，完全不同于亚里士多德所提出的证明，这是易于看出的。
Ｂａｒｏｃｏ式能以一个极简易的显示证明从Ｂａｒｂａｒａ式得到证明，它需要一个、也仅仅只需要一个命题逻辑的断定命题，那就是以下的复杂的易位律：（４）如果（如果ｐ并且ｑ，则ｒ）
，那么（如果ｐ并且非ｒ，则非ｑ）。
②令“Ｍ属于所有Ｎ”代ｐ，“Ｎ属于所有Ｘ”代ｑ，以及“Ｍ属于所有Ｘ”代ｒ。
通过此替代，从（４）的前件得到Ｂａｒｂａｒａ式，并因而可分离出后件，它读作：（５）如果Ｍ属于所有Ｎ并且Ｍ属于所有Ｘ是不真的，那么Ｎ属于所有Ｘ是不真的。
因为Ｏ前提是Ａ前提的否定，我们可以在（５）中以“不属于有些”替代“属于所有是不真的”
，从而得到Ｂａｒｏｃｏ式。
毫无疑问，亚里士多德是知道在上述证明中所涉及的易位律的。
这个定律与亚里士多德透彻地研究过的所谓三段论
①我用“非”作为命题的否定“这是不真实的……”的缩写。
②见《数学原理》第１８页，断定命题P３。
３７。
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１８。归谬法证明A ５８
的“转换”
①（ｃｏｎｖｅｒｓｉｏｎ）
密切相联。
转换一个三段论，就是：把结论的反对命题或矛盾命题（在归谬法证明中仅采取矛盾命题）
与前提之一一起采取，从而推翻另一个前提。
亚里士多德说：“这是必然的：如果结论已被转换并且前提之一成立，则另一个前提应被推翻。
因为如果它应当成立，则结论也必定成立了。“
②这是对复杂的易位律的一个描述。